Sierpiński 图中不相交 Steiner 树的构造

设 $G$ 为图，$S\subseteq V(G)$ 且 $|S|\geq 2$。则 $G$ 中的树 $T_1, T_2, \cdots, T_\ell$ 称为连接 $S$ 的内点不相交 Steiner 树(或 $S$-Steiner 树)，如果对每对相异整数 $i,j$，$1 \leq i, j \leq \ell$，有 $E(T_i) \cap E(T_j )=\emptyset$ 且 $V(T_i)\cap V(T_j)=S$。类似地，若仅满足条件 $E(T_i) \cap E(T_j )=\emptyset$ 而无条件 $V(T_i)\cap V(T_j)=S$，则它们称为边不相交 Steiner 树。图 $G$ 的广义 $k$-连通度记为 $\kappa_k(G)$，定义为 $\kappa_k(G)=\min\{\kappa_G(S)|S \subseteq V(G) \ \textrm{and} \ |S|=k \}$，其中 $\kappa_G(S)$ 是内点不相交 $S$-Steiner 树的最大数目。广义局部边连通度 $\lambda_{G}(S)$ 是 $G$ 中连接 $S$ 的边不相交 Steiner 树的最大数目。图 $G$ 的广义 $k$-边连通度 $\lambda_k(G)$ 定义为 $\lambda_k(G)=\min\{\lambda_{G}(S)\,|\,S\subseteq V(G) \ and \ |S|=k\}$。这些度量是连通度与边连通度概念的推广，可用作网络脆弱性的度量。一般而言，计算这些广义连通度是困难的。然而，对于某些特殊图类已有精确结果。本文中，我们得到了 $S(n,\ell)$ 的 $\lambda_{k}(S(n,\ell))$ 在 $3\leq k\leq \ell^n$ 时的精确值，以及 $\kappa_{k}(S(n,\ell))$ 在 $3\leq k\leq \ell$ 时的精确值，其中 $S(n, \ell)$ 为阶为 $\ell^n$ 的 Sierpi\'{n}ski 图。作为直接推论，当 $\lambda_{k}(S(n,\ell))=\kappa_{k}(S(n,\ell))$ 时，这些图提供了额外的有趣例子。我们还研究了 Sierpi\'{n}ski 图的一些网络性质。