加权变差空间与浅层ReLU网络的逼近

我们研究有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 上函数 $f$ 由宽度为 $n$ 的单隐层ReLU神经网络输出进行逼近的问题。这种非线性 $n$ 项字典逼近因是神经网络逼近（NNA）的最简情形而受到深入研究。针对此类NNA已有若干著名逼近结果，引入了 $\Omega$ 上新颖的函数模型类，其逼近速率不随输入维度无界增长。这些新颖类包括Barron类，以及基于稀疏性或变差（如Radon域BV类）的类。本文关注这些新颖模型类在域 $\Omega$ 上的定义。当前这些模型类的定义与域 $\Omega$ 无关。通过引入加权变差空间的概念，给出了域上模型类的新且更恰当的定义。这些新模型类是域本身所内蕴的。这些新模型类的重要性在于它们严格大于经典（与域无关）类，但研究表明其保持了相同的NNA速率。