虚二次域中素数上的游走

我们将高斯护城河问题推广到其整数具有唯一分解性质的有限个虚二次域上。我们将此问题映射为欧几里得最小生成树问题，并使用 Delaunay 三角剖分和 Kruskal 算法在 $O(|\mathbf{P}| \log |\mathbf{P}|)$ 时间内找到这些域中的护城河，其中 $\mathbf{P}$ 表示我们正在搜索的素数集合。我们的算法利用对称性和边界，在无限素数的底层无界图中，按长度递增的顺序正确且高效地识别所有护城河，以及每个护城河所能到达的最远素数。我们还推导了某些虚二次域中素数密度的渐近估计。基于此及对称性论证，我们推测对于给定的步长界限 $k$，在 $\mathbb{Z}[i]$ 和 $\mathbb{Z}\left[\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right]$ 中，我们能够比在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 中行进到离原点更远的地方。这一推测得到了我们计算结果的支持。