向量分位数回归：一种最优传输方法

我们提出了条件向量分位数函数和向量分位数回归的概念。随机向量 $Y$（取值于 $\mathbb{R}^d$）在协变量 $Z=z$（取值于 $\mathbb{R}^k$）下的\emph{条件向量分位数函数} (CVQF) 是一个映射 $u \longmapsto Q_{Y\mid Z}(u,z)$，它是单调的（即作为凸函数的梯度），并且使得当向量 $U$ 服从参考非原子分布 $F_U$（例如 $\mathbb{R}^d$ 中单位立方体上的均匀分布）时，随机向量 $Q_{Y\mid Z}(U,z)$ 具有 $Y$ 在 $Z=z$ 条件下的分布。此外，对于 $U$ 的某个版本，我们有强表示 $Y = Q_{Y\mid Z}(U,Z)$ 几乎必然成立。\emph{向量分位数回归} (VQR) 是 $Y$ 关于 $Z$ 的 CVQF 的线性模型。在正确设定下，该概念产生强表示 $Y=\beta \left(U\right) ^\top f(Z)$，其中 $f(Z)$ 表示 $Z$ 的一组已知变换，$u \longmapsto \beta(u)^\top f(Z)$ 是单调映射（凸函数的梯度），且分位数回归系数 $u \longmapsto \beta(u)$ 具有类似于标准标量分位数回归的解释。随着 $f(Z)$ 成为更丰富的 $Z$ 变换类，该模型变为非参数的，如同级数建模。VQR 的一个关键性质是其核心嵌入了经典的 Monge-Kantorovich 最优传输问题作为特例。在 $Y$ 为标量的经典情形中，VQR 退化为经典 QR 的一个版本，而 CVQF 退化为标量条件分位数函数。文中考虑了其在多重 Engel 曲线估计中的应用。