球面和平面区域特征值重数上界的再探讨

我们重访1999年发表的两篇论文：M. Hoffmann-Ostenhof、T. Hoffmann-Ostenhof 和 N. Nadirashvili [Ann. Global Anal. Geom. 17 (1999) 43--48] 以及 T. Hoffmann-Ostenhof、P. Michor 和 N. Nadirashvili [Geom. Funct. Anal. 9 (1999) 1169--1188]。这些论文的主要结果是：黎曼曲面 $M$ 的第 $k$ 个特征值的重数在上界为 $(2k-3)$（当 $k \ge 3$ 时）。在第一篇论文中，$M$ 同胚于球面。在第二篇中，$M$ 是带狄利克雷边界条件的平面区域。两种情形下，特征值的起始标号均为 $1$。这些论文中的证明不够详尽。本专著旨在为上述上界提供详尽的一般性证明，并将结果推广至罗宾边界条件。我们综述了先前的结果（第1章），以及前提定理的证明（第2章）。当 $M$ 同胚于球面时，我们通过引入并仔细研究某些本征函数的节点域的组合类型与标号，给出上界 $\mathrm{mult}(\lambda_k) \le (2k-3)$（对任意 $k\ge 3$）的完整证明（第3章）。当 $M$ 为平面区域时，我们考虑三种边界条件：狄利克雷、诺伊曼、罗宾，并研究节点域的组合类型与标号。更确切地说，我们对一般 $C^{\infty}$ 有界区域及所有 $k \ge 3$ 证明不等式 $\mathrm{mult}(\lambda_k) \le (2k-2)$（第4章）。我们在区域单连通的附加假设下对 $k \ge 3$ 证明不等式 $\mathrm{mult}(\lambda_k) \le (2k-3)$（第5章）。这些章节依赖于应用于节点图的欧拉不等式以及对优化欧拉不等式的本征函数的细致分析。第6章包含相关结果（节点线猜想；Courant-锐利特征值）。