立方体的展开
群论
2016-04-20 v1 组合数学
摘要
沿着立方体某些棱切开并将其展开到平面上，究竟会形成多少种不同的连通形状？本文通过将立方体同时视为曲面以及顶点与边的图来回答这一问题。这种双重视角引发了几何、代数与组合技术的相互作用。最初的观察是，展开立方体表面的切割模式对应于立方体图的一棵生成树。矩阵树定理可用于计算连通图中生成树的数量，从而使我们能够计算展开立方体的方式数。由于两棵或更多生成树可能产生相同的展开形状，因此需要利用Burnside引理来计数不同余的展开图数量。这样的计数可能是一项艰巨的任务。此处我们结合基础代数与几何技术，使该问题落入简单手算的范围内。
引用
@article{arxiv.1604.05004,
title = {Unfoldings of the Cube},
author = {Richard Goldstone and Robert Suzzi Valli},
journal= {arXiv preprint arXiv:1604.05004},
year = {2016}
}