高维偏微分方程的无偏且免二阶导数训练
机器学习
2026-05-15 v1 数值分析
数值分析
最优化与控制
摘要
基于后向随机微分方程（BSDE）的深度学习方法已成为求解高维偏微分方程（PDE）的物理信息神经网络（PINN）的有力竞争替代方案。通过利用概率表示，BSDE 方法可以避免维数灾难，并且通常具有免二阶导数的训练目标，无需显式计算 Hessian 矩阵。最近的研究表明，常用的 Euler-Maruyama (EM) 时间离散化会在 BSDE 训练损失中引入内在偏差。虽然诸如 Heun 等高阶格式可以完全消除这种偏差，但这些格式重新引入了二阶空间导数并产生了大量的计算开销。在本工作中，我们对 EM 引起的损失偏差提供了原理性分析，并提出了一种无偏且免二阶导数的训练框架，该框架保留了 BSDE 方法的计算优势。我们的代码可在 https://github.com/seojaemin22/Un-EM-BSDE 获取。
引用
@article{arxiv.2605.14643,
title = {Unbiased and Second-Order-Free Training for High-Dimensional PDEs},
author = {Jaemin Seo and Surin Lee and Jae Yong Lee},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.14643},
year = {2026}
}
备注
Accepted at ICML 2026