带边界的紧致 $C^{\infty}$ 流形上的拉普拉斯本征函数的非浓缩估计

设 $\Omega$ 为维数为 $n$ ($n \geq 3$) 的紧致黎巴耳流形，边界为 $C^\infty$ 类型，考虑满足Dirichlet或Neumann边界条件的归一化 $L^2$ 本征函数 $- \Delta \phi_{\lambda} = \lambda^2 \phi_\lambda$。本文扩展了已知的内部非浓缩边界上界。具体而言，在定理 \ref{thm1} 中，我们仅使用纯stationary局部方法，证明对此类 $\Omega$，对任意 $x_0 \in \overline{\Omega}$（包括边界点）以及所有 $\mu \geq C_{\Omega} \lambda^{-1}$（其中 $C_{\Omega} > 0$ 为足够大的常数），都有 \n \begin{equation} \label{nonconbdy} \| \phi_\lambda \|_{B(x_0,\mu)\cap \Omega}^2 = O(\mu). \end{equation} 在定理 \ref{thm2} 中，我们将Sogge的某项结果推广至光滑边界上的流形，证明 \n \begin{equation} \label{SUPBD} \| \phi_\lambda \|_{L^\infty(\Omega)} \leq C \lambda^{\frac{n}{2}} \cdot \Big( \sup_{x \in \Omega} \| \phi_{\lambda} \|_{L^2( B(x,\lambda^{-1}) \cap \Omega )} \Big). \end{equation} 由定理 \ref{thm1} 和 \ref{thm2} 可立即得到Grieser 在 \cite{Gr} 中证明的紧致流形上Dirichlet或Neumann本征函数的尖锐上界 $\| \phi_{\lambda} \|_{L^\infty(\Omega)} = O(\lambda^{\frac{n-1}{2}})$。