多面体为（局部）Rupert 的两个充分条件

给定两个等大立方体，有可能——违背直觉地——在一个立方体上钻出足够大的孔让另一个直穿而过。立方体这一荒谬性质由莱茵河的鲁珀特亲王于 17 世纪首次注意到。令人惊讶的是，立方体并不孤单：许多其他多面体也具有此性质，我们称之为 Rupert。表达一个多面体为 Rupert 的简洁方式是找到该多面体的两个朝向 $Q$ 与 $Q'$，使得 $\pi(Q)$ 落在 $\pi(Q')$ 内部，其中 $\pi$ 表示到 $xy$ 平面的正交投影。依此方案，要在 $Q'$ 中钻孔可移除 $\pi^{-1}(\pi(Q))$。存在一个开放猜想：每个凸多面体都是 Rupert。针对该猜想，我们给出多面体为 Rupert 的两个充分条件。两条件均要求多面体具有一个特别简单的朝向 $Q$，我们将其微小改变得到如上所需的 $Q'$。当通道由如此微小的改变给出时，称之为局部通道。限定于局部情形可带来诸多有价值的简化。在证明主定理过程中，我们发展了关于这些局部通道的理论，包含对微小旋转如何作用于简单多面体的分析。