迈向 k-服务器猜想：一个统一势函数，将边界推进至圆

k-服务器猜想由 Manasse、McGeoch 和 Sleator 于 1988 年首次提出，断言存在一个 $k$-竞争的确定性算法求解 $k$-服务器问题。据猜想，工作函数算法（WFA）可达到该保证，这是一种适用于多种在线问题的多用途算法。该结论已在若干特例中得证：$k=2$、$(k+1)$ 点度量、$(k+2)$ 点度量、直线度量、加权星度量和曼哈顿平面上的 $k=3$。这些结果的已知证明基于与各个特例绑定的势函数，因而六个情形需要六种不同的势函数。我们提出一个单一势函数，证明 WFA 在所有这些情形下的 $k$-竞争性。我们还利用该势函数证明 WFA 在多射线空间以及树上 $k=3$ 时的 $k$-竞争性。尽管双覆盖算法（DoubleCoverage）已知在这些后述情形中具有 $k$-竞争性，但对 WFA 而言一直未解。我们的势函数刻画了一类懒惰 adversary（对手），从而表明在所有已解决的情形中，最坏情况对手是懒惰的。Chrobak 和 Larmore 于 1992 年猜想，一个刻画懒惰对手的势函数将解决 k-服务器猜想。令我们大为惊讶的是，事实并非如此：我们利用与 $k$-出租车问题的联系证明，我们的势函数在圆上三个服务器时失效。因此，我们的势函数凸显了对手的懒惰性作为一个基本属性，它为所有已解决情形所共有，却在一般情况下被违背。一方面，这削弱了我们对 k-服务器猜想成立性的信心。另一方面，若 k-服务器猜想成立，我们相信它可由我们势函数的变体证明。