通过三线性聚合实现更快的可行矩阵乘法

矩阵乘法是高性能计算中的基本内核。许多快速矩阵乘法算法只能应用于巨大的矩阵（$n>10^{100}$），因此无法在实践中使用。在所有适用于可行输入的算法中，Pan的$O(n^{2.773372})$算法（1982年）是渐近最快的。我们获得了一个$O(n^{2.773203})$算法，适用于与Pan算法相同的输入规模。该算法是基例小于$1000$的最快矩阵乘法算法。此外，我们的方法在从$n_0=28$开始的许多小基例上获得了最佳的渐近复杂度。我们还为更大的基例获得了更好的指数。为了构建我们的算法，我们使用了三线性聚合方法。我们找到了算法中与较小基例的矩阵乘法等价的部分，并使用de Groote等价替换这些部分，以便进一步优化我们的算法。最后，我们通过寻找稀疏分解并降低首项系数来改进我们算法的加法复杂度。这些标志着在实践中超越现有快速矩阵乘法算法的根本性一步。