S4 之上逻辑的拓扑完备性
逻辑
2013-11-12 v1
摘要
McKinsey 和 Tarski [28] 的一个著名结果是，S4 是任何无处稠密可分度量空间上的闭包代数 X+ 的逻辑。特别是，S4 是实数集 R、有理数集 Q 或 Cantor 空间 C 上闭包代数的逻辑。根据文献 [5]，每个具有有限模型性质的 S4 之上逻辑既是 Q+ 子代数的逻辑，也是 C+ 子代数的逻辑。这对于 R 不再成立，且文献 [5] 的主要结果指出，每个具有有限模型性质的 S4 之上连通逻辑是闭包代数 R+ 子代数的逻辑。在本文中，我们将这些结果推广到所有 S4 之上的逻辑。具体而言，对于正规模态逻辑 L，我们证明以下条件等价：(i) L 在 S4 之上，(ii) L 是 Q+ 子代数的逻辑，(iii) L 是 C+ 子代数的逻辑。我们引入了 S4 之上良连通逻辑的概念，并证明以下条件等价：(i) L 是良连通逻辑，(ii) L 是无限二叉树上闭包代数 T_2^+ 子代数的逻辑，(iii) L 是配备 Scott 拓扑的带极限无限二叉树上闭包代数 L_2^+ 子代数的逻辑。最后，我们证明了 S4 之上的逻辑 L 是连通的，当且仅当 L 是 R+ 子代数的逻辑，并将我们的结果迁移到中间逻辑的设定中。
引用
@article{arxiv.1311.2178,
title = {Topological completeness of logics above S4},
author = {Guram Bezhanisevili and David Gabelaia and Joel Lucero-Bryan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1311.2178},
year = {2013}
}