外梯度与乐观梯度下降-上升算法在约束单调变分不等式上的紧致末次迭代收敛性

单调变分不等式是数学规划中的核心问题，它统一并推广了许多重要设定，如光滑凸优化、二人零和博弈、凸-凹鞍点问题等。Korpelevich [1976] 的外梯度算法与 Popov [1980] 的乐观梯度下降-上升算法可以说是求解单调变分不等式最经典且最流行的两种方法。尽管历史悠久，以下主要问题仍然开放：对于带约束的单调且 Lipschitz 变分不等式，外梯度算法或乐观梯度下降-上升算法的末次迭代收敛速率是多少？我们通过证明外梯度算法与乐观梯度下降-上升算法对于任意凸可行集均具有紧致的 $O\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\right)$ 末次迭代收敛速率，解决了这一开放问题，该速率与 Golowich 等人 [2020a,b] 的下界相匹配。我们的速率以标准间隙函数度量。我们结果的核心在于一种非标准的性能度量——切向残差，可视为考虑了局部约束的算子范数的一种适应。我们在外梯度算法（或乐观梯度下降-上升算法）的分析中使用切向残差（或切向残差的轻微变体）作为势函数，并证明其在两次连续迭代之间是非增的。