三类新的最优跳频序列集

跳频序列（FHSs）的研究一直集中在建立 FHSs 参数的理论界以及构造相对于这些界的最优 FHSs。Peng 和 Fan（2004）推导了 FHS 集最大非平凡汉明相关的两个下界，这是衡量实际应用中 FHS 集性能的重要指标。本文我们获得两个主要结果。我们研究利用有限域上的循环码构造新的最优跳频序列集。设 $\mathcal{C}$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 的循环码，使得 $\mathcal{C}$ 包含一维子码 $\mathcal{C}_0=\{(\alpha,\alpha,\cdots,\alpha)\in \mathbb{F}_q^n\,|\,\alpha\in \mathbb{F}_q\}$。如果 $\mathcal{C}$ 中的两个码字可以通过应用一定次数的循环移位从一个得到另一个，则称它们是等价的。我们给出了 $\mathcal{C}\setminus\mathcal{C}_0$ 中任何码字的等价类大小为 $n$ 的一个充要条件。这一结果解决了 Ding 等人在文献 \cite{Ding09} 中提出的一个公开问题。作为推论，我们得到了三类关于 Singleton 界最优的 FHS 集，其中一些同时关于 Peng-Fan 界也是最优的。我们还证明了两个 Peng-Fan 界实际上是相同的。