第 $n$ 个素数的三种表达：离散筛法、谱分析与概率动力学
综合数学
2026-01-28 v1
摘要
寻找第 个素数 的闭式表达，长期以来在解析函数的严格决定论与局部分布的表观随机性之间摇摆。本文探讨了 的三种不同方法。第一种形式化了 的一个解析恒等式，该恒等式基于由 M"obius 导出的互质性指标过滤的调和求和。与 Gandhi 1971 年的恒等式采用几何密度和对数提取不同，该公式通过在 Bertrand 假设定义的区间上进行离散求和来运算。第二种方法，我们改进了“谐波共振”模型，该模型假设素数作为谱节点从 von Mangoldt 振荡中产生。第三种方法，我们采用受 Mertens 定理启发的“生存动力学”方法，将素数间距视为一个演化增长过程。通过桥接这些视角，我们为理解从渐近趋势到离散算术现实的转变提供了一个综合框架。
引用
@article{arxiv.2601.18816,
title = {Three expressions of the $n$-th prime number: discrete sieving, spectral analysis and probabilistic dynamics},
author = {Jean-Christophe Pain},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.18816},
year = {2026}
}