xyz算法：高效搜索高维数据中的交互项

当对具有$p$个变量的数据集进行回归时，通常有必要超越使用主要线性效应，并将交互项视为各变量之间的乘积。对于小规模问题，这些交互项可以显式计算，但若朴素地执行则会导致至少$\mathcal{O}(p^2)$的计算复杂度。当$p$非常大时，这一代价可能难以承受。我们提出了一种新的随机化算法，能够以高概率发现交互项，并且在温和条件下其运行时间是$p$的次二次。我们证明强交互项可以在近乎线性时间内发现，而寻找较弱交互项则需要$\mathcal{O}(p^\alpha)$次操作，其中$1 < \alpha < 2$取决于其强度。其基本思想是将交互项搜索转化为最近点对问题，该问题可以在次二次时间内高效求解。该算法被称为$\mathit{xyz}$，并用R语言实现。我们展示了其在全基因组关联研究中的应用效率，在单核1.2 GHz CPU上可在280秒内筛选超过$10^{11}$个交互项。