可分态集合除 $3\times 2$ 维外无有限半定表示

给定整数 n $\geq$ m，令 Sep(n,m) 为希尔伯特空间 $\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^m$ 上的可分态集合。众所周知，对于 (n,m)=(3,2)，可分态集合有一个使用半定规划的简单描述：它由具有正偏置换的状态集合给出。在本文中我们证明，对于更大的 n 和 m 值，集合 Sep(n,m) 没有有限大小的半定规划描述。由于 Sep(n,m) 是一个半代数集，这给出了 Helton-Nie 猜想的一个新反例，该猜想最近被 Scheiderer 在一突破性结果中否定。与 Scheiderer 的方法相比，我们的证明是初等的，仅依赖于关于半代数集和函数的基本结果。