局部一致性的传播深度

我们建立了 $k$-一致性测试中嵌套传播步骤数量的最优界限。众所周知，弧一致性、路径一致性和 $k$-一致性等局部一致性算法无法高效并行化。其固有的串行性质是由无法并行执行的长链嵌套传播步骤引起的。这引出了一个问题：“在具有 $n$ 个变量和域大小 $d$ 的（二元）约束网络上，$k$-一致性算法必须执行的最少嵌套传播步骤数是多少？”此前已知 2-一致性需要 $\Omega(nd)$ 步串行传播，3-一致性需要 $\Omega(n^2)$ 步。我们对每个 $k\geq 2$ 彻底回答了这个问题：存在某些二元约束网络，任何 $k$-一致性过程在检测到局部不一致之前，必须执行 $\Omega(n^{k-1}d^{k-1})$ 次嵌套传播步骤。该界限是紧的，因为 $k$-一致性执行的传播步骤总数至多为 $n^{k-1}d^{k-1}$。