柱面上的王置换偏序集

若对 each $1\leq i \leq n-1$ 有 $|\sigma_{i+1}-\sigma_{i}|>1$ 且 $|\sigma_1-\sigma_n|>1$，则称置换 $\sigma=[\sigma_1,\dots,\sigma_n] \in S_n$ 为{\em 柱面王置换}。其名称源于可将这些置换视为描述 $n$ 个王在 $n\times n$ 阶棋盘上的位置，使得（每行每列恰有一个王且）任意两个王互不攻击，并附加条件：王可移出某一行并在该行起始处重新出现。在最近的一篇论文中，我们处理了更一般的“王置换”集合，即仅满足上述两个条件中第一个的那些置换。该集合在置换上著名的包含关系下构成一个偏序集。本文研究柱面王置换的子偏序集及其结构。我们考察那些在较高秩中层数(downset)尽可能大的柱面王置换。我们利用置换图像的曼哈顿距离的一种修正及其在柱面情境下的若干应用，给出此类置换为 $k-$ prolific 的判据。我们的主要结果之一是：柱面置换偏序集中两个置换之间的最大间隙为 $4$。