直线排列中的最高层顶点

设 $L$ 为平面上的一组 $n$ 条直线，不一定处于一般位置。我们提出一种高效算法，用于找出排列 $A(L)$ 中所有最高层的顶点，其中顶点 $v$ 的层定义为严格位于 $v$ 下方的 $L$ 中直线的数量。该问题在 de Berg 等人 [BCKO08] 的习题 8.13 中提出，看似简单实则困难得多，因为该顶点可能不在直线的上包络上。我们首先假设 $L$ 中所有直线互异，并根据上包络是否含有有界边分为两种情况。在前一种情况中，我们证明在任何最高层顶点 $v_0$ 上方通过的 $L$ 中直线数量仅为 $O(\log n)$。在后一种情况中，我们在移除某些与上包络唯一顶点关联的直线后，建立了类似的性质。我们给出在两种情况均能在最优 $O(n\log n)$ 时间内运行的算法。接着我们考虑 $L$ 中直线不一定互异的情况。此情形更具挑战性，我们目前最好的算法能在 $O(n^{4/3}\log^{3}n)$ 时间内计算出所有最高层顶点。最后，我们考虑退化排列的一个相关组合问题，其中许多直线可能交于同一点，但所有直线互异：我们界定了此类排列中加权 $k$-层的复杂度，其中顶点的权值为通过该顶点的直线数。我们证明此情形下的界为 $O(n^{4/3})$，与非退化排列的相应界一致，并在其中一个算法的分析中使用了该界。