在比例区间内，Lasso误差有界当且仅当其活跃集大小与n有界远离

本文注记在比例区间（即维度$p$和样本量$n$同阶）内，对线性模型中的Lasso $\hat b$进行了分析，且对真实回归向量没有任何稀疏性或$L1$假设。在高斯设计且协方差矩阵的谱与0和$+\infty$有界远离的情况下，证明了$L2$风险是随机有界的，当且仅当所选变量的数量与$n$有界远离，即当$n,p\to+\infty$时，$$(1-\|\hat b\|_0/n)^{-1} = O_P(1) \Longleftrightarrow \|\hat b- b^*\|_2 = O_P(1)$$。从右到左的蕴含关系排除了稠密Lasso估计（具有接近$n$个活跃变量的估计）具有常数风险的可能性，这可用于排除导致稠密估计的调谐参数。然后我们将稀疏性重新引入画面，并重新审视了精确的相变，该相变刻画了导致无界Lasso风险的真实回归向量的稀疏模式——或由上述等价性，导致稠密Lasso估计的稀疏模式。这一精确相变由\citet{miolane2018distribution,celentano2020lasso}利用等价序列模型中的不动点方程建立。本文利用简单的论证提供了该相变的另一种证明，而不依赖于不动点方程或等价序列模型。对著名的限制特征值论证的修改，使得分析能够扩展到任意常数阶的小调谐参数，从而在相变的一侧导出有界风险。在相变的另一侧，证明了对于给定的符号模式，只要基追踪在无噪问题中无法恢复该符号模式，Lasso风险就可能无界。