可混合性的几何结构

可混合损失函数在在线场景下专家建议预测问题中具有根本重要性，因为它们刻画了快速学习率。通过从微分几何的视角重新诠释恰当性(properness)，我们给出了二元与多类情形下可混合性的一个简单几何刻画：在关于 $\ell$ 可微性的相当一般假设下，一个恰当损失函数 $\ell$ 是 $\eta$-可混合的，当且仅当缩放后的损失函数 $\eta \ell$ 的超预测集 $\textrm{spr}(\eta \ell)$ 能在对数损失 $\ell_{\log}$ 的超预测集 $\textrm{spr}(\ell_{\log})$ 内部自由滑动。我们的方法提供了一种以“无坐标”方式处理某些关于损失函数的概念（如恰当性）的途径，并调和了先前针对二元与多类情形下可混合损失函数所得的结果。