元素提取问题及线性查询中确定性受限与自适应受限的代价

子线性算法的两个广泛使用的计算范式是：使用线性测量对高维输入进行计算，以及使用结构化查询访问海量输入。通常，前一类范式中的算法是非自适应的，而后一类则是高度自适应的。本文在一个结合了两者的查询模型中研究基本的搜索问题——\textsc{element-extraction}（元素提取）：具有有界自适应性的线性测量。在\textsc{element-extraction}问题中，给定一个非零向量 $\mathbf{z} = (z_1,\ldots,z_n) \in \{0,1\}^n$，必须报告一个满足 $z_i = 1$ 的索引 $i$。输入可通过系数属于某个环的任意线性函数进行访问。该问题存在高效的非自适应随机解法（通过著名的 $\ell_0$-sampling 技术）以及高效的完全自适应确定性解法（通过二分搜索）。我们证明，当局限于仅 $k$ 轮适应性时，在模某个固定 $q$ 的整数环上，确定性\textsc{element-extraction}算法必须耗费 $\Omega(k (n^{1/k} -1))$ 次查询。这与相应的上界匹配。对于使用整数算术的查询，我们证明了 $2$-轮 $\widetilde{\Omega}(\sqrt{n})$ 下界，在多项式对数因子范围内也是紧的。我们的证明可归约到组合学中的经典问题，并利用了关于{\em zero-sum problem}（零和问题的既有结果以及最近对{\em sunflower lemma}（向日葵引理）的改进。