稀疏性对 $k$-支配集及相关一阶图性质的影响

我们重新审视 $k$-支配集 ($k$-Dominating Set)，这是最早被证明具有紧致的 $n^k-o(1)$ 条件下界（针对 $k\ge 3$，基于 SETH）的问题之一 (P\u{a}tra\c{s}cu and Williams, SODA 2007)。然而，底层的归约生成了稠密图，从而引发了一个问题：图的稀疏性在多大程度上影响其细粒度复杂性？我们首先根据节点数 $n$ 和边数 $m$ 确定了 $k$-支配集的细粒度复杂性。具体而言，对于 $m$ 对 $n$ 的任何依赖关系，我们展示了基于 SETH 的 $mn^{k-2-o(1)}$ 下界。这与针对所有 $k\ge 3$ 的 $mn^{k-2+o(1)}$ 时间算法相辅相成。对于 $k=2$ 的情况，我们给出了一种随机算法，该算法采用受 Bloom 过滤器启发的哈希技术，将最先进水平从 $n^{\omega+o(1)}$ 提高到 $m^{\omega/2+o(1)}$。如果 $\omega=2$，这将得出针对所有 $k\ge 2$ 的条件紧致界。为了研究 $k$-支配集在对稀疏性的敏感性方面是否特殊，我们考虑了一类非常相关的问题。$k$-支配集属于一类我们称为单色基本问题 (monochromatic basic problems) 的一阶可定义图性质。这些问题是已被证明对一阶可定义性质类 FOP 完备的基本问题的自然单色变体 (Gao, Impagliazzo, Kolokolova, and Williams, TALG 2019)。我们表明，在这些问题中，$k$-支配集是唯一一个在稀疏图中细粒度复杂性降低的问题。仅在自反性质的特殊情况下，存在另一个基本问题可以在稀疏图上以快于 $n^{k\pm o(1)}$ 的速度求解。对于距离 -$r$ $k$-支配集的自然变体，我们在稀疏图上针对每个 $r\ge 2$ 获得了 SETH 下的 $n^{k-o(1)}$ 难度，这对于足够大的 $k$ 是紧致的。