再探有限齐次树上的接触过程

我们考虑在 $\mathbb{T}_n^d$（高度为 $n$ 的 $d$ 叉树）上具有感染率 $\lambda$ 的接触过程。我们研究灭绝时间 $\tau_{\mathbb{T}_n^d}$，即当过程从完全占据状态开始时，感染消失所需的随机时间。我们证明了 Stacey 关于 $\tau_{\mathbb{T}_n^d}$ 的两个猜想。设 $\lambda_2$ 为无限 $d$ 叉树上接触过程的上临界值。首先，如果 $\lambda < \lambda_2$，则 $\tau_{\mathbb{T}_n^d}$ 除以树高在 $n \to \infty$ 时依概率收敛于一个正常数。其次，如果 $\lambda > \lambda_2$，则 $\log \mathbb{E}[\tau_{\mathbb{T}_n^d}]$ 除以树的体积依概率收敛于一个正常数，且 $\tau_{\mathbb{T}_n^d}/\mathbb{E}[\tau_{\mathbb{T}_n^d}]$ 依分布收敛于均值为 1 的指数分布。