再探带编辑的模式匹配的通信复杂度

在有数十年历史的带编辑的模式匹配问题中，给定长度为 $n$ 的字符串 $T$（文本）、长度为 $m$ 的字符串 $P$（模式）以及正整数 $k$（阈值），任务是列出 $P$ 在 $T$ 中的 $k$-错误出现，即 $T$ 中所有与 $P$ 的编辑距离至多为 $k$ 的片段。带编辑的模式匹配的单向通信复杂度是指，给定该问题实例 $(P, T, k)$ 的 Alice 必须发送给 Bob 的最小比特数，使得 Bob 能够仅凭该消息重构出答案。对于 $0 < k < m < n/2$ 这一自然参数区间，我们最近的工作 [STOC'24] 得出，带编辑的模式匹配需要 ${\Omega}(n/m \cdot k \log(m/k))$ 比特，且 $O(n/m \cdot k \log^2 m)$ 比特即足够。更一般地，对于字母表 ${\Sigma}$ 上的字符串，我们最近的工作 [STOC'24] 给出了一种 $O(n/m \cdot k \log m \log(m|{\Sigma}|))$ 比特的编码，允许人们为 $P$ 在 $T$ 中的每个 $k$-错误出现恢复最短的编辑序列。在本工作中，我们重新审视了原始证明，并将编码大小改进至 $O(n/m \cdot k \log(m|{\Sigma}|/k))$，这匹配了常数大小字母表的下界。我们进一步为所求解的编辑序列报告变体确立了新的紧下界 ${\Omega}(n/m \cdot k \log(m|{\Sigma}|/k))$。我们的编码大小也匹配了在流算法背景下为更简单的带错配的模式匹配问题所确立的通信复杂度 [Clifford, Kociumaka, Porat; SODA'19]。