模拟早期宇宙的艺术——第一部分

我们给出用于模拟膨胀宇宙中标量场与规范场动力学的格点方法的全面讨论。在回顾Minkowski和FLRW背景下标量场与规范场相互作用的连续统表述后，我们介绍场论离散化的基本工具，包括格点规范不变技术。随后我们讨论并分类数值算法，从$O(dt^2)$精度的$staggered~leapfrog$和$Verlet$积分等方法，到高达$O(dt^4)$精度的$Runge-Kutta$方法，以及精度高达$O(dt^{10})$的$Yoshida$和$Gauss-Legendre$高阶积分器。我们调整这些方法以用于$3+1$维膨胀网格中标量场与规范场非线性动力学的经典格点模拟，包括由场能量与压强密度体积平均所源发的“自洽”膨胀情形。我们给出以下典型情形的格点表述：$i)$相互作用标量场，$ii)$阿贝尔$U(1)$规范理论，以及$iii)$非阿贝尔$SU(2)$规范理论。在所有三种情形中，我们提供辛积分器，精度从$O(dt^2)$到$O(dt^{10})$不等。对每种算法，我们给出相关可观测量形式，如能量密度分量、场谱与Hubble约束。值得注意的是，我们所有规范理论算法均将Gauss约束保持至机器精度，包括考虑“自洽”膨胀时。作为数值示例，我们分析了带电于$SU(2)\times U(1)$的振荡暴胀子的暴胀后动力学。本手稿意在作为$CosmoLattice$的理论基础之一，这是一个现代的基于C++ MPI、用于模拟膨胀宇宙中标量-规范场理论非线性动力学的软件包，可在www.cosmolattice.net公开获取。