截断依赖检验：Gumbel-Barnett copula

在关于寿命的研究中，总体偶尔会包含数据收集开始前就已出生的统计单元。左截断的是在该开始之前死亡的单元。对于所有其他单元，研究开始时的年龄通常被记录，我们旨在检验这第二个测量是否独立于真正关心的度量，即寿命。我们的基本依赖模型是单参数 Gumbel-Barnett copula。为简便起见，寿命的边缘分布假设为指数分布，而对于研究开始时的年龄（即出生日期的分布），我们假设为均匀分布。同样为简便并契合我们的应用，我们假设晚于研究期死亡的单元也被截断。由点过程理论可得，我们能用 Poisson 过程近似截断样本，从而导出其似然。我们推导了最大似然估计的识别性、一致性与渐近分布。检验正截断依赖必须包含假设独立性，其恰好与 copula 参数空间的边界重合。通过非标准理论，指数与 copula 参数的最大似然估计分布为二维与一维正态分布的混合。应用数据为 2014 至 2016 年间倒闭的 5.5 万个德国企业的双截断寿命。似然在参数空间边界处的 copula 参数上取得最大值，故检验的 $p$ 值为 $0.5$。预期寿命相对于成立年份并未增加。使用可建模正负依赖的 Farlie-Gumbel-Morgenstern copula 发现，德国企业的预期寿命甚至随时间显著下降。