基于趋势滤波的张量去噪

我们通过考虑 $k^{\rm th}$ 阶 Vitali 变分（即 $k^{\rm th}$ 阶全导数绝对值积分的离散化版本）将趋势滤波的概念推广到张量。我们证明了基于趋势滤波的张量去噪的自适应 $\ell^0$ 速率与不太慢的 $\ell^1$ 速率。对于 $k=\{1,2,3,4\}$，我们证明若底层张量是常数个超矩形上 $(k-1)^{\rm th}$ 阶多项式的乘积，则 $d$ 维张量的 $d$ 维边缘可以 $\ell^0$ 速率 $n^{-1}$（至多相差对数因子）被估计。对于一般 $k$，我们证明估计的 $\ell^1$ 速率为 $n^{- \frac{H(d)+2k-1}{2H(d)+2k-1}}$（至多相差对数因子），其中 $H(d)$ 为第 $d$ 个调和数。借助 ANOVA 型分解，可将这些结果应用于张量的低维边缘，从而证明对整个张量去噪的界。我们的工具包括用于约束 $\ell^0$ 速率有效稀疏性的插值张量、用于 $\ell^1$ 速率的网格，以及背景中 Dalalyan 等人的投影论证。