带截止时间的时序分隔集

我们研究静态世界中无限制顶点分隔集问题的时间类比。$(s,z)$-时序分隔集是一组顶点，其在时序图中对每个时间步移除后使顶点 $s$ 与顶点 $z$ 不连通。$(s,z)$-时序分隔集问题要求给定时序图中找到最小尺寸的 $(s,z)$-时序分隔集。我们引入该问题的一个推广，称为 $(s,z,t)$-时序分隔集问题，其目标是找到最小的顶点子集，使得移除后消除所有从 $s$ 到 $z$ 且耗时少于 $t$ 个时间步的时序路径。令 $\tau$ 表示时序图所定义的时间步数（我们考虑离散时间步）。我们刻画了当问题为 $\mathcal{NP}$-难以及当问题为多项式时间可解时的参数 $\tau$ 和 $t$ 的集合。随后我们给出 $(s,z)$-时序分隔集问题的一个 $\tau$-近似算法，并将其转化为 $(s,z,t)$-时序分隔集问题的一个 $\tau^2$-近似算法。我们还给出了在假设 $\mathcal{NP}\not\subset\mbox{\sc Dtime}(n^{\log\log n})$ 下 $(s,z,t)$-时序分隔集问题的 $\Omega(\ln(n) + \ln(\tau))$ 不可近似性下界。接着我们考虑三类特殊图族：(1) 分支宽度至多为 $2$ 的图，(2) 移除 $s$ 和 $z$ 后剩余部分为树的图 $G$，以及 (3) 有界路径宽度的图。我们对 (1) 和 (2) 给出多项式时间算法以寻找最小 $(s,z,t)$-时序分隔集。对于 (3)，我们展示了从带限长线段的离散线段覆盖问题到时序图具有有界路径宽度的 $(s,z,t)$-时序分隔集问题的多项式时间归约。