范数求和聚类无法分离邻近球

范数求和(sum-of-norms)聚类是 $K$-means 聚类的一种流行凸化方法。我们证明，若数据集由大量独立随机变量构成，这些变量服从两个半径为单位长的不相交球的并集上的均匀测度分布，且若两球彼此足够接近，则范数求和聚类通常无法恢复数据集划分为两个簇的分解。当维数趋于无穷时，即使两球中心之间的距离取大到 $2\sqrt{2}$ 也会发生这种情况。为证明此结论，我们引入并分析了范数求和聚类的连续版本，其中数据集被一个一般测度所替代。特别地，我们给出并证明了该聚类的一个局部–全局刻画，这一刻画即便在离散数据点情形看来也是新的。