求解非线性方程/不等式组的交替投影法

求解大规模非线性方程/不等式组是计算与优化中的基本问题。本文针对该问题提出一个通用的逐次投影（SP）框架。SP将当前迭代点依次投影到对应于每个非线性（不）等式的可行集上。它将von Neumann用于寻找两个线性子空间交集点的交替投影、Bregman用于寻找凸集公共点的算法以及Kaczmarz用于求解线性方程组的方法，推广到多个非线性和非凸集的更一般情况。现有关于随机Kaczmarz的收敛性分析仅适用于线性情形。对于求解非线性方程的SP尚无理论收敛结果。本文首次证明SP以线性速率局部收敛到非线性方程/不等式组的解。我们的工作建立了多非线性和非凸集情形下SP的收敛理论。除循环与随机投影外，我们设计了两种新的贪婪投影方法，显著加速收敛。此外，推导了收敛速率的理论界。我们揭示收敛速率与非线性函数在解处的雅可比矩阵的Hoffman常数相关。讨论了将SP应用于求解理论计算机科学中备受关注的图像实现问题。