次黎曼地标匹配及其作为残差神经网络的解释

寻找一个时变向量场将初始点集扭曲至目标点集的问题在形状分析中十分常见。它是微分同胚形状匹配体制中的一个问题实例，并可视为微分同胚图像匹配的空间离散化。本文考虑经修正的地标匹配：通过一组控制量参数化向量场来限制可用向量场的集合。我们确定了该问题的几何设定（称为次黎曼地标匹配），并推导了控制量的运动方程。我们提供了两种计算算法，并在数值示例中予以演示。特别地，实验突出了正则化项的重要性。一个强烈的动机是次黎曼地标匹配与神经网络存在联系，尤其是将残差神经网络解释为连续控制问题的时间离散化。它使形状分析研究者能以微分同胚地标匹配的角度思考神经网络，从而在这两领域间架起桥梁。