具有单个超平面与两个锥约束的锥优化问题的强对偶性

一般锥优化问题（COPs）的强（拉格朗日）对偶性已被长期研究，其深刻且复杂的结果以不同形式广泛出现于各类文献中。因此，刻画已知与未知结果有时颇为困难。本文旨在为已知结果的 COPs 强对偶性提供统一且几何的视角。对于我们的框架，我们采用一个 COP，其在向量变量 $x$ 上最小化线性函数，并受单个超平面约束 $x \in H$ 与两个锥约束 $x \in K_1$、$x \in K_2$。它可等价重构为具有单个超平面约束 $x \in H$ 与单个锥约束 $x \in K_1 \cap K_2$ 的更简单 COP。此简单 COP 及其对偶以及它们的对偶关系可几何表示，且无需任何约束规范便无对偶间隙。若两个锥 $K_1$ 与 $K_2$ 的对偶的 Minkowski 和是闭的，或若重构 COP 的对偶满足某 Slater 条件，则原始目标 COP 的对偶等价于重构 COP 的对偶。因此，这些条件使得能够将重构 COP 上的所有对偶结果（包括最优解的存在性和/或有界性）转移到原始目标 COP 上，并进一步转移到具有对称性的标准原始对偶 COP 对上。