强数据处理不等式及其在可靠计算中的应用

1952 年，von Neumann 发表了一系列开创性讲座，证明由 3 输入多数表决门组成的电路在故障概率充分小的独立概率 $\delta > 0$ 下可以可靠地计算布尔函数。1999 年，Evans 和 Schulman 利用强数据处理不等式（SDPI）建立了电路组件最多具有 $k$ 个输入时可靠计算的最紧已知必要条件 $\delta < \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{k}}$。2017 年，Polyanskiy 和 Wu 将 Evans 和 Schulman 的 SDPI 论证提炼为一个关于贝叶斯网络中互信息收缩的一般性结果。在本文中，我们首先介绍由不可靠组件进行可靠计算的问题，并建立噪声阈值的存在性。随后，我们给出 von Neumann 关于 3 输入多数表决门的结果的阐述，并将其推广到少数表决门。接着，我们介绍 SDPI，其在统计力学、投资组合理论以及隐私约束下的统计估计下界等领域有诸多应用。最后，我们利用所介绍的材料阐述 Polyanskiy 和 Wu 2017 年关于贝叶斯网络的结果，由此可推出 Evans-Schulman 1999 年的结果。