具有有界截面曲率的黎曼流形上的随机原-对偶方法

我们研究了一种在具有有界截面曲率的黎曼流形上用于约束优化的随机原-对偶方法。我们证明了该方法对最优目标值的非渐近收敛性。更确切地说，对于双曲流形类，我们建立了一个与截面曲率下界相关的收敛速率。为了证明椭圆流形在截面曲率方面的收敛速率，我们利用了Toponogov比较定理。此外，我们为渐近椭圆流形提供了收敛性分析，其中流形上每给定点的截面曲率由距离函数局部下界。我们在球面上针对非负主成分分析（PCA）展示了原-对偶算法的性能。特别是，在主成分的非负性约束下以及对于对称尖峰协方差模型，我们通过实验表明原-对偶方法优于谱方法。我们还检验了原-对偶方法在基于相对旋转的部分噪声测量进行锚定同步化问题上的性能，该问题位于李群SO(3)上。最后，我们展示了原-对偶算法可应用于容许割集约束下的加权MAX-CUT问题。具体而言，我们基于在单位球面的直积流形以及旋转群的直积流形上优化一个函数，为加权MAX-CUT问题提出了不同的近似算法。