均值场变分推断的稳定性分析

均值场变分推断（MFVI）是一种广泛用于逼近高维概率分布的方法，通过产品测度实现。本文研究了当目标分布位于强对数凹测度类中时，均值场近似的稳定性。我们在2- Wasserstein距离度量下，建立了MFVI优化器相对于目标分布的维数无关Lipschitz连续性，其Lipschitz常数与对数凹性参数成反比。此外，在额外的正则性条件下，我们进一步证明了MFVI优化器对目标势的导数存在性，并通过偏微分方程刻画其导数。方法论层面，本文采用一种新颖的均值场变分推断路径：将非凸的MFVI问题提升到以固定基准测度为基础的传输图上的凸优化问题，从而能够运用变分法和函数分析方法。我们讨论了若干应用，包括面向鲁棒贝叶斯推断和经验贝叶斯推断的结果，其中包含MFVI的量化Bernstein- von Mises定理，以及面向分布式随机控制的应用。