三维下 Navier-Stokes 方程稀疏 grad-div 逼近的稳定性

加入一项 $-\gamma\nabla\nabla\cdot u$ 以迫使 $\nabla\cdot u$ 逐点很小，是改善不可压流离散化中质量守恒的有效工具。然而，所加入的 grad-div 项耦合了所有速度分量，降低了稀疏性，并增大了每个时间步必须求解的线性系统的条件数。为解决这三个问题，人们开发了各种稀疏 grad-div 正则化方法以及一种模块化 grad-div 方法。本文中我们开发并分析了一种将 Guermond 与 Minev 的完全解耦、并行稀疏 grad-div 方法与模块化 grad-div 方法相综合的方法。令 $G^{\ast}=-diag(\partial_{x}^{2},\partial_{y}^{2},\partial_{z}^{2})$ 表示 $G=-\nabla\nabla\cdot$ 的对角部分，$\alpha\geq0$ 为可调参数。所考虑的二步方法为 \begin{eqnarray} 1 &:&\frac{\widetilde{u}^{n+1}-u^{n}}{k}+u^{n}\cdot \nabla \widetilde{u}^{n+1}+\nabla p^{n+1}-\nu \Delta \widetilde{u}^{n+1}=f\text{ & }\nabla \cdot \widetilde{u}^{n+1}=0,\ 2 &:&\left[ \frac{1}{k}I+(\gamma +\alpha )G^{\ast }\right] u^{n+1}=\frac{1}{k }\widetilde{u}^{n+1}+\left[ (\gamma +\alpha )G^{\ast }-\gamma G\right] u^{n}. \end{eqnarray} 我们证明了当 $\alpha\geq0.5\gamma$ 时其在 $3d$ 下的无条件、非线性、长时间稳定性。该分析还确立：该方法总体上控制了 $||\nabla\cdot u||$ 的持续大小，并且在 $u(x,0)=0$ 且 $f(x,t)\neq0$ 时控制了 $||\nabla\cdot u||$ 中的瞬态，前提是 $\alpha>0.5\gamma$。文中给出了相一致的数值测试。