Stackelberg 最小生成树博弈的特化与推广

给定一个图 $G=(V,E)$，其边集被划分为一组 \emph{红} 边 $R$ 和一组 \emph{蓝} 边 $B$，并假设红边有权重且构成 $G$ 的一棵生成树。那么，\emph{Stackelberg 最小生成树} (\stack) 问题即为对蓝边进行定价（即赋权），使得在所得图的最小生成树中被选中的蓝边的总权重最大化。已知即使不同红边权重的数量仅为 2，\stack 也是 \apx-难的。在本文中，我们分析了 \stack 的一些有意义的特化和推广，从而进一步揭示了该问题的计算复杂性。更具体地说，我们首先证明如果限制 $G$ 为 \emph{完全图}，则以下结论成立：(i) 如果只有 2 种不同的红边权重，则该问题可求得最优解（这与一般问题的相应 \apx-难性形成对比）；(ii) 否则，对于任意 $\epsilon > 0$，该问题可在 $7/4 + \epsilon$ 范围内近似。随后，我们定义了 \stack 的一个自然扩展，即蓝边关联有一个非负的 \emph{激活成本}，并且给定一个在对蓝边定价时不得超出的全局 \emph{激活预算}。在此，在证明了可以达到与原问题相同的近似比之后，我们证明如果红边生成树可以生根，使得任何根到叶的路径包含至多 $h$ 条边，则对于任意 $\epsilon > 0$，该问题存在一个 $(2h+\epsilon)$-近似算法。