基于 Bregman 学习的 PDE 求解数据稀疏化降维

经典模型降维技术将控制方程投影到原状态空间的线性子空间中。更近期的数据驱动技术则利用神经网络实现非线性投影。虽然这些方法常能实现更强的压缩，但可能存在冗余参数，导致潜在维度次优。为克服此问题，我们提出一种多步骤算法，通过 Bregman 学习诱导编码器-解码器网络中的稀疏性，从而有效减少参数数量并进一步压缩潜在空间。该算法从稀疏初始化网络开始，使用线性化 Bregman 迭代进行训练。这些迭代在计算机视觉和压缩感知任务中取得了显著成功，但迄今尚未用于简化模型。训练后，我们采用恰当正交分解（POD）进一步压缩潜在空间维度。最后，我们采用偏置传播技术将诱导的稀疏性转化为有效的参数减少。我们将该算法应用于三个代表性 PDE 模型：1D 扩散、1D 输运和 2D 反应扩散。与常规训练方法（如 Adam）相比，所提方法在相同精度下仅使用 30% 参数，潜在空间显著减小。