沿单项式曲线的变分范数的稀疏界

考虑单项式曲线$\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{d}$以及沿$\gamma$的一族截断Hilbert变换$\mathcal{H}^{\gamma}$。本文讨论$\mathcal{H}^{\gamma}$的$r$-变分的逐点稀疏控制的可能性——即下述是否成立：\begin{equation*}V^{r}\circ\mathcal{H}^{\gamma}f(x)\lesssim \mathcal{S}f(x)\end{equation*}其中$f$是非负可测函数，$r>2$且$\mathcal{S}f(x) = \sum_{Q\in\mathcal{Q}}\langle f\rangle_{Q,p}\chi_{Q}(x)$对于某个$p$和某个依赖于$f,p$的稀疏集合$\mathcal{Q}$。