通过禁止积模式的0-1矩阵对避免模式的排列进行排序

我们考虑对避免某个$k$-排列$\pi$的$n$-排列$S$进行比较排序的问题。Chalermsook、Goswami、Kozma、Mehlhorn与Saranurak证明：当$S$通过将其元素插入GreedyFuture二叉搜索树进行排序时，运行时间与极值函数$\mathrm{Ex}(P_\pi\otimes \text{hat},n)$线性相关。此为避免$P_\pi \otimes \text{hat}$的$n\times n$的0-1矩阵中1的最大数目，其中$P_\pi$是$\pi$的$k\times k$排列矩阵，$\otimes$为Kronecker积，$\text{hat} = \left(\begin{array}{ccc}&\bullet&\\\bullet&&\bullet\end{array}\right)$。用Kozma与Saranurak的SmoothHeap对$S$排序也可达到相同时间界。本文中，就反Ackermann函数$\alpha(n)$而言，我们给出了$P_\pi\otimes\text{hat}$-自由矩阵密度的近紧上下界。 \mathrm{Ex}(P_\pi\otimes \text{hat},n) = \left\{\begin{array}{ll} \Omega(n\cdot 2^{\alpha(n)}), & \mbox{对大多数$\pi$,}\\ O(n\cdot 2^{O(k^2)+(1+o(1))\alpha(n)}), & \mbox{对所有$\pi$.} \end{array}\right. 由此，避免$\pi$的序列可在$O(n2^{(1+o(1))\alpha(n)})$时间内完成排序。对于动态最优性猜想的许多推论，最佳分析使用了禁止0-1矩阵理论。我们的分析或有助于分析二叉搜索树上其他类的访问序列。