通过自编码器求解逆问题

压缩感知（CS）旨在从其欠定线性测量中恢复结构化信号。从稀疏性出发，恢复方法已稳步转向更复杂的结构。基于神经网络的生成函数等新兴机器学习工具能够从训练数据中学习一般复杂结构。这使它们成为设计 CS 算法的潜在强大工具。考虑所需的信号类 $\cal Q$，${\cal Q}\subset{R}^n$，以及相应的生成函数 $g:{\cal U}^k\rightarrow {R}^n$，${\cal U}\subset {R}$，使得 $\sup_{{\bf x}\in {\cal Q}}\min_{{\bf u}\in{\cal U}^k}{1\over \sqrt{n}}\|g({\bf u})-{\bf x}\|\leq \delta$。基于 $g$ 的恢复方法寻求测量误差最小的 $g({\bf u})$。本文在含噪与无噪测量下研究了此类恢复方法的性能。在无噪情形下，粗略而言，证明了当 $k$ 与 $n$ 无界增长且 $\delta$ 收敛于零时，若测量数（$m$）大于生成模型的输入维度（$k$），则渐近地几乎无损恢复是可能的。此外，研究了基于投影梯度下降的一种高效迭代算法的性能。在此情形下，使用自编码器在投影步骤定义并强制实施源结构。该自编码器由编码器与解码器（生成）函数 $f:{R}^n\to{\cal U}^k$ 与 $g:{\cal U}^k\to{R}^n$ 分别定义。我们从理论上证明，粗略而言，给定 $m>40k\log{1\over \delta}$ 个测量，即便存在加性白高斯噪声，此类算法也收敛至所需结果的邻域。给出了探究所提方法有效性的数值结果。