小型无着色与着色选择字典

选择字典可用参数 $n\in\mathbb{N}$ 初始化，随后在插入、删除、成员查询以及返回 $S$ 中任意元素的 $\textit{choice}$ 操作下维护 $\{1,\ldots,n\}$ 的初始空子集 $S$。选择字典在空间高效计算中基础且应用广泛。此前最优的选择字典可用 $n$ 和 $t\in\mathbb{N}$ 初始化，随后在字长为 $w=\Omega(\log n)$ 位的字 RAM 上以 $O(t)$ 时间执行所有操作，并占用 $n+O(n({t/w})^t+\log n)$ 位。我们描述了一种新的选择字典，以常数时间执行所有操作，且除存储整数 $n$ 所需空间外仅占用 $n+1$ 位，当 $w=o(n)$ 时被证明是最优的。选择字典的一种推广称为着色选择字典，除 $n$ 外还用 $c\in\mathbb{N}$ 初始化，随后在 $\textit{setcolor}(j,\ell)$（将 $\ell$ 从其当前子集移到 $S_j$）、$\textit{color}(\ell)$（返回满足 $\ell\in S_j$ 的唯一 $j\in\{0,\ldots,c-1\}$）和 $\textit{choice}(j)$（返回 $S_j$ 中任意元素）操作下维护 $\{1,\ldots,n\}$ 的半划分 $(S_0,\ldots,S_{c-1})$。我们描述了新的着色选择字典：若以常数 $c$ 初始化，则以常数时间执行 $\textit{setcolor}$、$\textit{color}$ 和 $\textit{choice}$，当 $c$ 为 2 的幂时占用 $n\log_2\!c+1$ 位加上存储 $n$ 所需空间，一般情况下对任意固定 $\epsilon>0$ 最多占用 $n\log_2\!c+n^\epsilon$ 位。我们还研究了遍历集合 $S$ 或给定 $j\in\{0,\ldots,c-1\}$ 的 $S_j$ 的可能性，以及其在广度优先搜索中的应用。