抽象 Sobolev 规模中的可采性理论及高频传递函数增长

对于 Hilbert 空间上的强连续半群，我们研究沿由插值、外推或函数计算构成的连续尺度空间中平移的控制和观测算子可采性属性。我们的结果表明，可采性在生成器的分数域上与其可采性在相同的“Sobolev 阶”的不同（通常情况下）二次插值空间上等价。进一步地，这些性质意味着在原始状态空间拓扑下可得定量的 resolvent 界限。当半群为群时，得到的频率域估计实际上等价于上述时域性质。在既有控制又有观测的系统中，我们能够将输入输出正则性质转化为算子值传递函数的高频增长率。作为应用，基于 Lasiecka、Triggiani 和 Tataru 关于 Neumann 控制下波方程内部与边界正则性的结果，我们推导了 Neumann 到 Dirichlet 波传递函数的最优渐近式。凭此，我们在矩形中以 Neumann 边界条件施加的波方程，建立了非均匀能量衰减率。