张量网络收敛中的符号问题

我们研究了张量网络收敛的计算难度如何取决于张量条目符号结构。通过运用计算复杂性理论，我们注意到，仅包含正条目的张量网络的近似收敛具有较低的计算复杂性。这引出了一个问题：这种计算复杂性之间的转变在不同收敛方案的难度上如何表现出来。我们通过研究具有不同对正条目偏好程度的随机张量网络来追踪此问题。首先，我们考虑通过蒙特卡洛抽样进行收敛，发现从困难到容易的转变发生在条目变为主要为正时的情形；这可视为张量网络中量子蒙特卡罗符号问题的一种表现。其次，我们分析常用的基于边界张量网络的收敛，其性能取决于张量网络中相关性（纠缠）的程度。惊人地，我们发现，从困难到容易（即从面积律到边界律纠缠 scaling）的转变已经在对正均值略有偏好时就发生了，偏好越大，键维数越大。这与两种预期以及蒙特卡洛收敛所发现的行为形成鲜明对比。我们通过研究一个有效统计力学模型来进一步洞察此早期转变。最后，我们研究计算张量网络波函数期望值的计算难度，即PEPS，我们发现纠缠基于收敛的复杂度始终保持较低。这一发现通过提供一种将PEPS期望值映射到正值张量网络的局部变换来加以解释。这不仅为解释观察到的边界律纠缠 scaling提供了见解，也提出了基于正分解的PEPS收敛新方法。