基于Poisson线模式低成本网络中的短程路由
概率论
2007-11-26 v2
摘要
在设计将面积为n的正方形中n个城市连接的网络时，可遵循以下两个期望。第一，网络总长度不应比连接所有城市的最短网络长度大很多。第二，平均路由长度（对源-目的地对取平均）不应比平均直线距离大很多。我们能使这两个差值多小？对于典型构型，最短网络长度为阶n，平均直线距离为阶n^1/2，因此似乎难以构造一个第一差值为o(n)且第二差值为o(n^1/2)的网络。但实际上可以做得更好：对任意构型，可构造一个第一差值为o(n)、且第二差值几乎小至O(log n)的网络。该构造在概念上简单：在最小长度连通网络（Steiner树）上叠加一个稀疏的平稳各向同性Poisson线过程。关键要素是关于Poisson线过程的一个新结果。考虑相距为r的两点，并从线过程中删去所有分离这两点的直线。所得线模式将平面划分为胞腔；包含这两点的胞腔具有平均边界长度2r + C log r。在下界方面，我们证明在弱等分布假设下，若第一差值为O(n)，则第二差值不可能为o(sqrt(log n))。
关键词
引用
@article{arxiv.math/0701140,
title = {Short-length routes in low-cost networks via Poisson line patterns},
author = {David J. Aldous and Wilfrid S. Kendall},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0701140},
year = {2007}
}
备注
25 pages, 5 figures Version 2: Corrected typos, added a comment before Theorem 2 relating equidistribution to a purely analytical formulation, corrected exposition of argument in proof of Theorem 3, added reference to an empirical study by other authors