噪声存在下多目标进化算法的运行时分析

在单目标优化中，众所周知，即使不作进一步调整，进化算法也能容忍目标函数评估中的一定程度的噪声。相比之下，这一问题在多目标优化中尚无任何理解。在本工作中，我们针对目标函数存在噪声情况下的经典基准，对一个简单的多目标进化算法（MOEA）进行了首次数学运行时分析。我们证明，当存在速率为 $p \le \alpha/n$（$\alpha$ 为适当常数）的按位先验噪声时，未经任何抗噪调整的简单多目标进化优化器（SEMO）能在 $O(n^2\log n)$ 时间内找到 OneMinMax 基准的 Pareto 前沿，与无噪声情况相同。鉴于这里的问题是要获得一个由 $n+1$ 个见证 Pareto 前沿的个体组成的种群，这是对噪声出人意料的强鲁棒性（相比之下，简单的进化算法在 $p = \omega(\log(n)/n)$ 时无法在多项式时间内优化单目标 OneMax 问题）。我们的证明表明，MOEA 的强鲁棒性源于其旨在使其能够计算覆盖整个 Pareto 前沿的种群而设计的隐式多样性机制。有趣的是，这一结果仅在解的目标值仅被确定一次、且算法从该点起使用该可能带噪的目标值时才成立。我们证明，如果在每次迭代中重新评估所有解，则任何速率 $p = \omega(\log(n)/n^2)$ 的噪声都会导致超多项式运行时。这与单目标优化截然不同，在单目标优化中，通常倾向于在解的适应度重要时重新评估解，并且已知存在不重新评估解会导致灾难性性能损失的例子。