关于 $p$-步维数在度度 measure 空间中的二分图

在一个体积加倍的度度 measure 空间上， endowed with a family of $p$-energies，使得 Poincaré 不等式和带有 $p$-walk 维数 $\beta_p$ 的 cutoff Sobolev 不等式成立，当 $p$ 属于一个开区间 $I\subseteq (1,+\infty)$ 时，我们证明了以下二分图：要么 $\beta_p=p$ 对所有 $p\in I$ 成立，要么 $\beta_p>p$ 对所有 $p\in I$ 成立。