含重尾噪声的鲁棒矩阵补全

本文研究在重尾且可能非对称噪声存在下的低秩矩阵补全问题，旨在给定一组高度不完整的含噪观测条目时估计潜在的低秩矩阵。尽管矩阵补全问题在过去十年备受关注，但当观测被重尾噪声污染时，仍缺乏理论理解。已有理论不足以解释经验结果，且无法刻画估计误差对噪声水平的最优依赖。本文中，我们采用自适应 Huber 损失以适配重尾噪声，当损失函数中的参数经过精心设计以平衡 Huber 化偏差与对离群值的鲁棒性时，该损失对大且可能非对称的误差具有鲁棒性。随后，我们通过平衡的低位秩 Burer-Monteiro 矩阵分解与具有鲁棒谱初始化的梯度下降，提出一种高效非凸算法。我们证明，仅在对误差分布有有界二阶矩条件（而非亚高斯假设）下，所提算法生成的迭代的欧氏误差会几何快速地下降，直至达到极小极大最优统计估计误差，该误差与亚高斯情形同阶。这一重大进展背后的关键技术是一个强大的留一法分析框架。理论结果得到了我们模拟研究的证实。